Supongamos que tenemos una serie de tiempo para una variable \(X\) entre el período \(0\) y \(t\):
\[x_0, x_1,x_2,...,x_t\]
Llamemos \(r_i\) a la tasa de crecimiento de la variable \(X\) entre los períodos \(i\) y \(i-1\). Es decir:
\[r_1=\frac{r_1}{r_0}-1 \text{ ; } r_2=\frac{r_2}{r_1}-1 \text{ ; } ... \text{ ; } r_{t-1}= \frac{r_{t-1}}{r_{t-2}}-1 \text{ ; } r_t=\frac{r_t}{r_{t-1}}-1\]
O, de manera similar, podemos escribir:
\[1+r_1=\frac{r_1}{r_0} \text{ ; } 1+r_2=\frac{r_2}{r_1} \text{ ; } ... \text{ ; } 1+r_{t-1}= \frac{r_{t-1}}{r_{t-2}} \text{ ; } 1+r_t=\frac{r_t}{r_{t-1}}-1\]
Afirmamos que la tasa de crecimiento promedio de \(X\) para todo el período está dada por la media geométrica de estas variaciones:
\[r^{prom}=\sqrt[t]{(1+r_1)*(1+r_2)*...*(1+r_{t-1})*(1+r_{t})}-1\]
\[1+r^{prom}=\sqrt[t]{(1+r_1)*(1+r_2)*...*(1+r_{t-1})*(1+r_{t})}\]
Demostración
Supongamos primero que la serie sólo llega hasta el período 2: \(x_0,x_1,x_2\)
De esta forma, sólo tenemos dos variaciones: \(r_1=\frac{x_1}{x_0}-1\) y \(r_2=\frac{x_2}{x_1}-1\)
Si calculamos el promedio geométrico tal como fue indicado más arriba, obtenemos lo siguiente:
\[1+r^{prom}=\sqrt[2]{(1+r_1)*(1+r_2)}=\sqrt[2]{\frac{x_1}{x_0}*\frac{x_2}{x_1}}\]
Simplificando los \(x_1\) obtenemos:
\[1+r^{prom}=\sqrt[2]{\frac{x_2}{x_0}}\]
De la fórmula anterior despejemos \(x_2\):
\[x_2=x_0*(1+r^{prom})^2\]
Donde se ve que, efectivamente, \(r^{prom}\) es la tasa de crecimiento promedio entre los dos períodos. Partiendo de \(x_0\), aplicando 2 veces la tasa \(r^{prom}\) llegamos al valor final \(x_2\), sin necesidad de utlizar las tasas de crecimiento orginales \(r_1\) y \(r_2\).
Este razonamiento se puede generalizar para \(t\) períodos. En este caso, la tasa de crecimiento promedio se calcula como fue indicado antes:
\[1+r^{prom}=\sqrt[t]{(1+r_1)*(1+r_2)*...*(1+r_{t-1})*(1+r_{t})}\]
Al reemplazar cada \(1+r_i\) por \(\frac{x_i}{x_{i-1}}\), tenemos:
\[1+r^{prom}=\sqrt[t]{\frac{x_1}{x_{0}}*\frac{x_2}{x_{1}}*...*\frac{x_{t-1}}{x_{t-2}}*\frac{x_t}{x_{t-1}}}\]
Donde se simplifican todos los \(x_i\) salvo el primero y el último:
\[1+r^{prom}=\sqrt[t]{\frac{x_t}{x_0}}\]
De nuevo, al despejar \(x_t\):
\[x_t=x_0*(1+r^{prom})^t\]
Vemos que \(r^{prom}\) es la tasa de crecimiento promedio entre los períodos \(0\) y \(t\). Partiendo de \(x_0\), aplicando \(t\) veces la tasa \(r^{prom}\) llegamos al valor final \(x_t\), sin necesidad de utlizar las tasas de crecimiento intermedias.